dlaczego bumerangi wracają? tego dowiecie się od julka stasiewicza

z pewnością każdy, kto interesuje się bumerangami zadał sobie kiedyś pytanie: dlaczego one wracają? większość stron internetowych poświęconych tej tematyce zadowala się jedynie zdawkowymi wyjaśnieniami, często błędnymi. również niektórzy użytkownicy nie zdobywają się na taki wysiłek, by dostrzec w locie bumerangu cokolwiek poza działaniem sił nadprzyrodzonych J. tymczasem zrozumienie fizyki bumerangu jest niemal niezbędne, by nasze kawałki drewna latały z coraz lepszymi osiągami. dlatego też w niniejszym artykule postaram się nieco przybliżyć całe zagadnienie, ponieważ każdy bumiarz, tak jak dobry kierowca, powinien wiedzieć co "znajduje się pod maską jego samochodu"...

1. główna idea

trzeba poznać jakościowe wyjaśnienie charakterystycznego lotu bumerangu, by potem móc opisać je za pomocą wzorów. jest to więc bardzo ważny punkt, wręcz podstawa do dalszych rozważań.

otóż w trakcie lotu bumerang porusza się na dwa sposoby - ruchem postępowym i wirowym. zakładamy, że ów sprzęt ma kształt listwy, więc w pewnym momencie lotu jedno ramię znajduje się w górze, a drugie w dole [grafika powyżej]. wypadkowa prędkość ramienia górnego to suma prędkości obrotowej i postępowej, natomiast dolnego - różnica tychże dwóch prędkości. ponieważ siła nośna jest proporcjonalna do szybkości skrzydła, to szybsze (górne) wytwarza większą siłę nośną niż wolniejsze (dolne). nierówność tych sił powoduje, że bumerang chce się"położyć" wypukłą stroną do ziemi. ma on jednak dość dużo energii obrotowej, dlatego - podobnie jak kółko zamachowe w żyroskopie - trudno jest go tak po prostu połośyć. siły rozkładają się więc w myśl zasady zwanej precesją żyroskopową. to z kolei powoduje skręcenie bumerangu. owo skręcanie jest procesem ciągłym, dlatego też bumerang porusza się po okręgu.

2. nasz model

zakładamy, że bumerang przyjęty do dalszych obliczeń ma kształt listwy o szerokości a i długości 2r. jest to bumerang dla praworęcznych - powracający z lewej strony. nadano mu profil o współczynniku nośności C. powietrze nie stawia oporu; rzucamy zupełnie pionowo.

pewne uproszczenie poczynimy też przy opisie ruchu wirowego - zakładamy, że przez cały lot bumerang jedno ze skrzydeł ma w górze, a drugie - przeciwległe na dole, pomimo wykonywanego ruchu obrotowego. jest to, co prawda, dalekie od rzeczywistości założenie, ale znacząco ułatwiające obliczenia.

ewentualne matematyczne przybliżenia omówione zostaną w trakcie obliczeń.

3. trochę szkolnej fizyki

w obliczeniach potrzebne będą następujące symbole i wartości:

a - szerokość ramienia bumerangu
r - promień bumerangu (połowa długości)
C - współczynnik siły nośnej, charakterystyczny dla profilu
? - (omega) prędkość obrotowa. wyrażona jest w zmianie kąta na jednostkę czasu.
v - prędkość postępowa, czyli prędkość pozioma bumerangu
v1 - prędkość wypadkowa górnego ramienia bumerangu
v2 - prędkość wypadkowa górnego ramienia bumerangu
F1 - siła nośna wytwarzana przez górne skrzydło
F2 - siła nośna wytwarzana przez dolne skrzydło
S - powierzchnia nośna skrzydła
L - moment pędu
dL - nieskończenie mały przyrost momentu pędu l
I - moment bezwładności
M - moment siły
t - czas potrzebny na powrót bumerangu
dt - nieskończenie mała zmiana czasu t
a - (alfa) kąt, o jaki obraca się płaszczyzna rotacji bumerangu
da - nieskończenie mały przyrost kąta a
R - zasięg bumerangu
czy trzeba je wszystkie pamiętać? absolutnie nie, wystarczy, analizujac wzory, zerknąć od czasu do czasu na powyższą legendę, by nie pogubić się w toku obliczeń.

teraz kilka zależności między powyższymi zmiennymi:

(1)
wzór ten to podstawa ruchu obrotowego. określa on, z jaką chwilową prędkością porusza się punkt na obwodzie okręgu o promieniu r, wirującego z prędkością kątową omega. przedstawia to poniższy rysunek:

przed pokazaniem dalszych wzorów należy się słowo wyjaśnienia. otóż w wielu miejscach pojawi się sformułowanie "moment", np. moment siły, bezwładności, czy pędu. wzięło się to z przeniesienia zasad klasycznej kinematyki i dynamiki na ruch obrotowy. w ten sposób moment bezwładności stał się odpowiednikiem masy, moment pędu - odpowiednikiem pędu i analogicznie moment siły - odpowiednikiem siły.

(2)

powyższy wzór określa moment bezwładności bumerangu o kształcie listwy. w praktyce wartość ta oznacza, jak trudno jest nadać bryle ruch obrotowy, czyli jak bardzo jest bezwładna.

(3)
to z kolei jest zależność między prędkością obrotową, momentem bezwładności i momentem pędu. wektor momentu pędu L z definicji jest skierowany prostopadle do płaszczyzny obrotu, tak jak to widać na rysunku:

(4)
ten wzór wyjaśnia ideę momentu siły. wynika z niego, ze moment siły to iloczyn siły i promienia na którym ona działa (w odleglości od środka). przedstawia to rysunek: formalnie wektor momentu siły, podobnie jak momentu pędu, jest skierowany prostopadle do płaszczyzny obrotu, ponieważ iloczyn promienia r i siły F jest iloczynem wektorowym.

(5)
powyższy wzór to popęd siły dla ruchu obrotowego. oznacza on, w jakim stopniu zmienia się moment pędu wobec działania momentu siły, w czasie dt.

(6)
na koniec nieco bardziej przyjemny wzór, a mianowicie wzór na siłę nośną. jak widać, zależy ona od współczynnika nośności C (charakterystcznego dla profilu), powierzchni nośnej S oraz kwadratu prędkości v.

4. obliczenia

jak już zostało to powiedziane we wstępie teoretycznym, górne skrzydło bumerangu porusza się szybciej niż dolne, co ilustruje rysunek:
w naszym przypadku obie prędkości wynoszą odpowiednio: (7), co wynika ze wzoru (1).

jak wynika ze wzoru (6), siła nośna jest tym większa im większa jest prędkość ramienia, więc w sensie dynamiki cała sytuacja wygląda następująco:
ponieważ siły te starają się obrócic bumerang w przeciwne strony, liczy się wypadkowa wartość, bedąca różnicą obu sił.

dalej: moment pędu wirującego bumerangu ułożony jest tak, jak przedstawia to kolejny rysunek:
zgodnie ze wzorem (5) moment pędu przyrasta o dL w każdej, nieskonczenie krótkiej chwili. pytanie tylko: w którą stronę zwrócony jest wektor dL? w udzieleniu odpowiedzi na to pytanie pomoże nam kolejny rysunek:
wypadkowy moment siły będzie starał się obrócić bumerang nie w płaszczyznie obrotu, lecz położyć go wypukłą stroną do ziemi. najlepiej widać to na rzucie perspektywicznym z punktu widzenia miotacza: na tym obrazku moment siły będzie starał się obrócić bumerang w płaszczyznie rysunku, więc jak już wspomniano wcześniej - wektor momentu pędu zawsze będzie skierowany prostopadle do płaszczyzny obrotu, czyli w kierunku czytelnika (dla przejrzystości nie został narysowany).
ponieważ dL to nieskonczenie mały przyrost, możemy uznać, że: (8), czyli, że wartość momentu pędu praktycznie pozostaje niezmieniona. dużo bardziej interesuje nas zmiana kąta jego działania, bowiem to właśnie ona odpowiada za zakręcanie bumerangu. zachodzi tu następująca sytuacja:
ponieważ wektory układają się w trójkąt prostokątny, a my znamy wartości L i dL, to możemy wyznaczyć da z zależności trygonometrycznej: (9).
wzór ten możemy jeszcze dodatkowo uprościć, ponieważ funkcja arctg dla bardzo małych argumentów okazuje się po prostu niepotrzebna: (10).
usuwając funkcję arctg ze wzoru (9) i podstawiając dl wzorem (5) otrzymujemy wzór (11) :
możemy teraz obustronnie scałkować to wyrażenie, żeby pozbyć się wyrazów da i dt. jest to zabieg czysto formalny, ponieważ oprócz da i dt, żaden wyraz nie zależy ani od a i t. jako t oznaczamy w tym przypadku czas potrzebny na obrócenie momentu pędu o 2p radianów (czyli 360 stopni), co odpowiada zatoczeniu pełnego koła.
co daje w wyniku:
(13)
teraz wypadałoby podstawić w powyższym wzorze M i L. o ile w przypadku L nie będzie kłopotu (wzór (3) i (2), o tyle obliczenie m nie jest już takie proste. dlaczego? otóż nie każdy punkt skrzydła wytwarza taką samą co do wartości siłę nośną, ponieważ ta zależy od odległości od środka ciężkości. jak sobie z tym poradzić? i tu z pomocą przychodzi nam rachunek całkowy:
(14)
jest to wzór na wypadkowy moment siły, wynikający z odjęcia F2 od F1 na całej długosci bumerangu.
teraz możemy wyizolować ze wzoru (13) czas i w powstałym wyrażeniu podstawić L i M odpowiednio ze wzorów (3) i (14):

sens ostatniego przekształcenia tłumaczy przyjęta na początku geometria bumerangu: iloczyn szerokości skrzydła a i promienia r daje powierzchnię nośną s.
oto i mamy wzór na czas lotu bumerangu. już niewielkim przekształceniem możemy uzyskać zeń wzór na zasięg:
(15)
ma on sens przy założeniu, że bumerang porusza się po okręgu o promieniu R. długość takiego okręgu wynosi 2pR, i musi być równa iloczynowi prędkości i czasu (gdyż, przebyta droga = predkość x czas).

5. konsekwencje

ostateczne wzory na czas lotu (14) i zasięg bumerangu (15) są oczywiście dość mocno przybliżone. w gruncie rzeczy należałoby wyłączyć z nich stałe czynniki, gdyż wynikają one raczej z przyjętego modelu. w efekcie otrzymamy dwa wzory - już ostatnie w tym "artykule" J:
(17)
(18)
co one oznaczają w praktyce? proszę spojrzeć, jakie wartości są wprost, a jakie odwrotnie proporcjonalne: otóż bumerang leci tym szybciej, im ma:
- większy współczynnik nośności (lepszy profil)
- większą powierzchnię nośną
- większą prędkość lotu
- mniejszą masę

natomiast leci tym dalej im:
- jest cięższy
- ma mniej nośny profil
- ma mniejszą powierzchnię nośną

jest to bardzo ważne dla bumerangów fastcatch i longdistance. natomiast powyższe wzory nie dotyczą mta - w tym przypadku charakterystyka lotu jest zupełnie inna.

6. podsumowanie, czyli: co to za szlaczki?

pełne zrozumienie wszystkich przeprowadzonych operacji może być trudne, ale nie jest niezbędne. choć warto znać całe wyjaśnienie zjawiska, to w praktyce najważniejsze są konsekwencje końcowych wzorów. zresztą, wielu bumiarzy z doświadczeniem zdobyło intuicyjne rozumienie tych zależności; zagmatwane obliczenia nie są więc do tego konieczne.

swoją drogą, ciekawe, w jaki sposób aborygeni prowadzili podobne obliczenia J?

7. czy to już koniec?

nie, absolutnie nie. tematu fizyki bumerangu nie można wyczerpać w jednym artykule, dlatego skupiłem się na pewnym jej aspekcie, poniekąd najważniejszym. trzeba wiedzieć, że wiele zagadnień lotu nie zostało dotąd solidnie wyjaśnionych, gdyż rządzą nimi niewdzięczne prawa aerodynamiki, a i sama tematyka jest owiana tajemnicą. póki co, pozostawmy więc te problemy uczonym, jako tematy na prace badawcza J.

tymczasem, może to i lepiej, że w naszym zajęciu ciągle jest coś z magii J?
mhr,
julek stasiewicz

julek stasiewicz, at home w białymstoku, rzuca bumerangami od dobrych paru lat. jego bardzo indywidualne podejście do rangów skłoniło go do konstrukcji i budowy prawdopodobnie pierwszych w polsce bumerangów z kompozytu. w teamie cieszy się opinią miotacza potrafiącego rzucić wszystkim, "co innym nie lata". poza tym uwielbia forumowe liberum veto ;o) a tu jego strona o bumach: www.bumerang.friko.pl/ grafiki i wzory: jul stasiewicz archiv